Né à Libourne dans une famille de footballeurs amateurs, Yoann Barbet signa à 6 ans sa première licence dans le club de Mouliets. Au fil des regroupements entre les clubs de ces coteaux de Dordogne, proches de Castillon-la-Bataille, il poursuivit sa découverte du football à l'Olympique Saint-Pey puis au FC Vallée de Gamage. Il se fit rapidement repéré et, à 13 ans, il rejoignit le centre de pré-formation des Girondins. Il gravit les échelons et découvrit même la joie de porter, à une reprise, en 2011, le maillot de l'équipe de France U18. Il s'installa tout logiquement en équipe réserve mais, à 21 ans, il ne fut pas conservé par le club bordelais.

Ce fut avec les Chamois Niortais qu'il signa son premier contrat professionnel, sous les ordres de Régis Brouard. Profitant d'une blessure d'un titulaire, il s'imposa au coeur de la défense niortaise. Ses prestations ne passèrent pas inaperçues et, après une seule saison en L2, il s'engagea avec Brentford, club de Championship. 

Après 6 premiers mois compliqués mais nécessaires pour s'acclimater à la dimension athlétique de ce championnat, Yoann Barbet gagna ses galons de titulaire. Il disputa plus de 200 matches dans l'antichambre de la Premier League avec Brentford (2015-2019) puis avec Queen's Park Rangers (2019-2022).

Toujours très attaché à sa région natale, il saisit la chance de rejoindre les Girondins durant l'été 2022. Relégués en L2, les Bordelais furent intéressés par son profil. Mais des problèmes financiers retardèrent l'homologation de son contrat et il ne put intégrer l'équipe qu'au début du mois de septembre. Installé en défense centrale avec Stian Gregersen, il rayonna durant toute la saison grâce à son leadership et ses qualités techniques. Capitaine des Marine et Blanc, il pensait vraiment réussir l'opération remontée en L1 jusqu'aux deux dernières journées, malheureusement mal négociées.

Après la terrible désillusion de la saison 2022-2023, il repartit au combat au sein d'une équipe qui ne parvint jamais à retrouver la flamme de la saison précédente. Moins décisif, moins tranchant défensivement, il subit lui aussi le contexte bordelais. Et lorsque le club coula financièrement, il quitta les Girondins le coeur gros, à 31 ans. Il signa un contrat avec le club Al-Riyadh, entraîné par l'ancien international français Sabri Lamouchi.