Gersois d'origine, joueur de l'AS Fleurance jusqu'à ses 14 ans, Alexandre Lauray intégra le Pôle Espoirs de Castelmaurou avant de s'engager avec le Toulouse FC. Il y fit ses classes au centre de formation, devint capitaine de l'équipe réserve et disputa des matches amicaux avec le groupe professionnel. Mais une grave blessure au genou (rupture des ligaments croisés) le poussa vers la sortie.

Il décida de rejoindre les Girondins de Bordeaux en 2018 en signant un contrat amateur. Il s'imposa rapidement en équipe réserve. Paulo Sousa le remarqua et lui donna sa chance lors de trois matches de L1. Il parapha un contrat professionnel le liant jusqu'en juin 2022 avec les Girondins qui le prêtèrent dans la foulée à Dunkerque (National) au terme d'une seule saison en Gironde.

Après son passage à Dunkerque, il retrouva les Girondins, mais intégra l'équipe réserve, dans l'attente d'une solution. A la fin du mois d'août 2020, il trouva une porte de sortie, à nouveau sous la forme de prêt, cette fois-ci en National, au FC Villefranche-Beaujolais.

A la fin de ce prêt, il fut libéré de sa dernière année de contrat par les nouveaux dirigeants bordelais. Alexandre Lauray signa alors au Mans en août 2021.