Découvrant le football dans les rangs du SMUC de Marseille, Robert Péri rejoignit en cadets Aix-en-Provence, où ses deux frères avaient été professionnels. Alors qu'il n'était encore que junior, il fut intégré à l'équipe première où il apprit son métier. En 1963, il quitta son cocon aixois pour rejoindre la Capitale et le Stade Français, malgré les sollicitations de Nantes et de Bordeaux.

En 1965, les Girondins de Bordeaux revinrent à la charge, parvinrent, en décembre, à attirer dans leurs filets ce tout récent international et ne le regrettèrent pas. En effet, avec Didier Couécou ou Hector De Bourgoing, il peut être considéré comme un des joueurs symboles de cette belle période girondine que fut la fin des années 60. Même si elle ne fut pas couronnée de trophée, elle offrit aux supporters marine et blanc de belles performances, conclues par des déceptions. Deux fois finaliste de la Coupe de France (1968, 1969) et deux fois vice-champion de France (1966, 1969), Robert Peri était un cadre de la formation girondine. Grâce à Bordeaux, il retrouva l'équipe de France.

Parti connaître d'autres expériences à Metz et Angoulême, il revint accomplir une ultime saison en Gironde, en 1971-1972. Un retour guère brillant, ponctué par 19 matches et 2 buts.

Il quitta définitivement Bordeaux en 1972 pour revenir jouer dans sa région natale, à Toulon, où il acheva sa carrière 3 ans plus tard.